Python小白的数学建模课-B4. 新冠疫情 SIR模型

传染病的数学模型是数学建模中的典型问题，常见的传染病模型有 SI、SIR、SIRS、SEIR 模型。

SIR 模型将人群分为易感者（S类）、患病者（I类）和康复者（R 类），考虑了患病者治愈后的免疫能力。

本文详细给出了 SIR 模型微分方程、相空间分析的建模、例程、结果和分析，让小白都能懂。

『Python小白的数学建模课 @ Youcans』带你从数模小白成为国赛达人。

1. 疫情传播 SIR 模型

传染病的传播特性不可能通过真实的试验开展研究，因此需要针对不同的传染病传播方式和流行特点建立相应的数学模型，并对模型进行理论研究和数值模拟。通过研究发现传染病传播的特征阈值，就可以为预防和控制传染病提供数据支撑和防控策略。

1927年，W. Kermack 在论文 “Contributions to the mathcmatical theory of epidemics” 中研究了伦敦黑死病和孟买瘟疫的流行过程，创造性地提出了 SIR 模型。

SI 模型和 SIS 模型将人群分为感染者（S类）和患病者（I类）两类人群，但大多数传染病的患者在治愈后就有很强的免疫力，终身或在一段时期内不再会被感染而变成病人。这类人群称为病愈免疫的康复者（R 类）。康复者已经退出传染系统，对于致死性疾病的死亡者也可以用该类别描述其传播特性。

SIR 模型适用于具有易感者、患病者和康复者三类人群，可以治愈，且治愈后终身免疫不再复发的疾病，例如天花、肝炎、麻疹等免疫力很强的传染病。

SIR 模型假设：

1. 考察地区的总人数 N 不变，即不考虑生死或迁移；
2. 人群分为易感者（S类）、患病者（I类）和康复者（R 类）三类；
3. 易感者（S类）与患病者（I类）有效接触即被感染，变为患病者（I类）；患病者（I类）可被治愈，治愈后变为康复者；康复者（R类）获得终身免疫不再易感；无潜伏期；
4. 将第 t 天时 S类、I 类、R 类人群的占比记为 (s(t))、(i(t))、(r(t))，数量为 (S(t))、(I(t))、(R(t))；初始日期 (t=0) 时， S类、I 类、R 类人群占比的初值为 (s_0)、(i_0)、(r_0)。
5. 日接触数 (lambda)，每个患病者每天有效接触的易感者的平均人数；
6. 日治愈率 (mu)，每天被治愈的患病者人数占患病者总数的比例，即平均治愈天数为 (1/mu)；
7. 传染期接触数 (sigma = lambda / mu)，即每个患病者在整个传染期内有效接触的易感者人数。

SIR 模型的微分方程：
由

[egin{cases}
egin{align}
& Nfrac{di}{dt} = Nlambda s i\
& N frac{dr}{dt} = N mu i\
& s(t) + i(t) + r(t) = 1
end{align}
end{cases}
]