Python学习笔记-PuLP库（3）线性规划实例

本节以一个实际数学建模案例，讲解 PuLP 求解线性规划问题的建模与编程。
　　

1、问题描述

　　某厂生产甲乙两种饮料，每百箱甲饮料需用原料6千克、工人10名，获利10万元；每百箱乙饮料需用原料5千克、工人20名，获利9万元。
　　今工厂共有原料60千克、工人150名，又由于其他条件所限甲饮料产量不超过8百箱。
　　（1）问如何安排生产计划，即两种饮料各生产多少使获利最大？
　　（2）若投资0.8万元可增加原料1千克，是否应作这项投资？投资多少合理？
　　（3）若每百箱甲饮料获利可增加1万元，是否应否改变生产计划？
　　（4）若每百箱甲饮料获利可增加1万元，若投资0.8万元可增加原料1千克，是否应作这项投资？投资多少合理？
　　（5）若不允许散箱（按整百箱生产），如何安排生产计划，即两种饮料各生产多少使获利最大？

2、用PuLP 库求解线性规划

2.1　问题 1

（1）数学建模

问题建模：
　　决策变量：
　　　　x1：甲饮料产量（单位：百箱）
　　　　x2：乙饮料产量（单位：百箱）
　　目标函数：
　　　　max fx = 10*x1 + 9*x2
　　约束条件：
　　　　6*x1 + 5*x2 <= 60
　　　　10*x1 + 20*x2 <= 150
　　取值范围：
　　　　给定条件：x1, x2 >= 0，x1 <= 8
　　　　推导条件：由 x1,x2>=0 和 10*x1+20*x2<=150 可知：0<=x1<=15；0<=x2<=7.5
　　　　因此，0 <= x1<=8，0 <= x2<=7.5

（2）Python 编程

    ProbLP1 = pulp.LpProblem("ProbLP1", sense=pulp.LpMaximize)    # 定义问题 1，求最大值
    x1 = pulp.LpVariable("x1", lowBound=0, upBound=8, cat="Continuous")  # 定义 x1
    x2 = pulp.LpVariable("x2", lowBound=0, upBound=7.5, cat="Continuous")  # 定义 x2
    ProbLP1 += (10*x1 + 9*x2)  # 设置目标函数 f(x)
    ProbLP1 += (6*x1 + 5*x2 <= 60)  # 不等式约束
    ProbLP1 += (10*x1 + 20*x2 <= 150)  # 不等式约束
    ProbLP1.solve()
    print(ProbLP1.name)  # 输出求解状态
    print("Status:", pulp.LpStatus[ProbLP1.status])  # 输出求解状态
    for v in ProbLP1.variables():
        print(v.name, "=", v.varValue)  # 输出每个变量的最优值
    print("F1(x)=", pulp.value(ProbLP1.objective))  # 输出最优解的目标函数值

（3）运行结果

ProbLP1
x1=6.4285714
x2=4.2857143
F1(X)=102.8571427

2.2　问题 2

（1）数学建模

问题建模：
　　决策变量：
　　　　x1：甲饮料产量（单位：百箱）
　　　　x2：乙饮料产量（单位：百箱）
　　　　x3：增加投资（单位：万元）
　　目标函数：
　　　　max fx = 10*x1 + 9*x2 – x3
　　约束条件：
　　　　6*x1 + 5*x2 <= 60 + x3/0.8
　　　　10*x1 + 20*x2 <= 150
　　取值范围：
　　　　给定条件：x1, x2 >= 0，x1 <= 8
　　　　推导条件：由 x1,x2>=0 和 10*x1+20*x2<=150 可知：0<=x1<=15；0<=x2<=7.5
　　　　因此，0 <= x1<=8，0 <= x2<=7.5

（2）Python 编程

    ProbLP2 = pulp.LpProblem("ProbLP2", sense=pulp.LpMaximize)    # 定义问题 2，求最大值
    x1 = pulp.LpVariable("x1", lowBound=0, upBound=8, cat="Continuous")  # 定义 x1
    x2 = pulp.LpVariable("x2", lowBound=0, upBound=7.5, cat="Continuous")  # 定义 x2
    x3 = pulp.LpVariable("x3", cat="Continuous")  # 定义 x3
    ProbLP2 += (10*x1 + 9*x2 - x3)  # 设置目标函数 f(x)
    ProbLP2 += (6*x1 + 5*x2 - 1.25*x3 <= 60)  # 不等式约束
    ProbLP2 += (10*x1 + 20*x2 <= 150)  # 不等式约束
    ProbLP2.solve()
    print(ProbLP2.name)  # 输出求解状态
    print("Status:", pulp.LpStatus[ProbLP2.status])  # 输出求解状态
    for v in ProbLP2.variables():
        print(v.name, "=", v.varValue)  # 输出每个变量的最优值
    print("F2(x)=", pulp.value(ProbLP2.objective))  # 输出最优解的目标函数值

（3）运行结果

ProbLP2
x1=8.0
x2=3.5
x3=4.4
F2(X)=107.1

2.3　问题 3

（1）数学建模

问题建模：
　　决策变量：
　　　　x1：甲饮料产量（单位：百箱）
　　　　x2：乙饮料产量（单位：百箱）
　　目标函数：
　　　　max fx = 11*x1 + 9*x2
　　约束条件：
　　　　6*x1 + 5*x2 <= 60
　　　　10*x1 + 20*x2 <= 150
　　取值范围：
　　　　给定条件：x1, x2 >= 0，x1 <= 8
　　　　推导条件：由 x1,x2>=0 和 10*x1+20*x2<=150 可知：0<=x1<=15；0<=x2<=7.5
　　　　因此，0 <= x1<=8，0 <= x2<=7.5

（2）Python 编程

    ProbLP3 = pulp.LpProblem("ProbLP3", sense=pulp.LpMaximize)  # 定义问题 3，求最大值
    x1 = pulp.LpVariable("x1", lowBound=0, upBound=8, cat="Continuous")  # 定义 x1
    x2 = pulp.LpVariable("x2", lowBound=0, upBound=7.5, cat="Continuous")  # 定义 x2
    ProbLP3 += (11 * x1 + 9 * x2)  # 设置目标函数 f(x)
    ProbLP3 += (6 * x1 + 5 * x2 <= 60)  # 不等式约束
    ProbLP3 += (10 * x1 + 20 * x2 <= 150)  # 不等式约束
    ProbLP3.solve()
    print(ProbLP3.name)  # 输出求解状态
    print("Status:", pulp.LpStatus[ProbLP3.status])  # 输出求解状态
    for v in ProbLP3.variables():
        print(v.name, "=", v.varValue)  # 输出每个变量的最优值
    print("F3(x) =", pulp.value(ProbLP3.objective))  # 输出最优解的目标函数值

（3）运行结果

ProbLP3
x1=8.0
x2=2.4
F3(X) = 109.6

2.4　问题 4

（1）数学建模

问题建模：
　　决策变量：
　　　　x1：甲饮料产量（单位：百箱）
　　　　x2：乙饮料产量（单位：百箱）
　　　　x3：增加投资（单位：万元）
　　目标函数：
　　　　max fx = 11*x1 + 9*x2 – x3
　　约束条件：
　　　　6*x1 + 5*x2 <= 60 + x3/0.8
　　　　10*x1 + 20*x2 <= 150
　　取值范围：
　　　　给定条件：x1, x2 >= 0，x1 <= 8
　　　　推导条件：由 x1,x2>=0 和 10*x1+20*x2<=150 可知：0<=x1<=15；0<=x2<=7.5
　　　　因此，0 <= x1<=8，0 <= x2<=7.5

（2）Python 编程

    ProbLP4 = pulp.LpProblem("ProbLP4", sense=pulp.LpMaximize)  # 定义问题 2，求最大值
    x1 = pulp.LpVariable("x1", lowBound=0, upBound=8, cat="Continuous")  # 定义 x1
    x2 = pulp.LpVariable("x2", lowBound=0, upBound=7.5, cat="Continuous")  # 定义 x2
    x3 = pulp.LpVariable("x3", cat="Continuous")  # 定义 x3
    ProbLP4 += (11 * x1 + 9 * x2 - x3)  # 设置目标函数 f(x)
    ProbLP4 += (6 * x1 + 5 * x2 - 1.25 * x3 <= 60)  # 不等式约束
    ProbLP4 += (10 * x1 + 20 * x2 <= 150)  # 不等式约束
    ProbLP4.solve()
    print(ProbLP4.name)  # 输出求解状态
    print("Status:", pulp.LpStatus[ProbLP4.status])  # 输出求解状态
    for v in ProbLP4.variables():
        print(v.name, "=", v.varValue)  # 输出每个变量的最优值
    print("F4(x) = ", pulp.value(ProbLP4.objective))  # 输出最优解的目标函数值

（3）运行结果

ProbLP4
x1=8.0
x2=3.5
x3=4.4
F4(X) = 115.1

2.5　问题 5：整数规划问题

（1）数学建模

问题建模：
　　决策变量：
　　　　x1：甲饮料产量，正整数（单位：百箱）
　　　　x2：乙饮料产量，正整数（单位：百箱）
　　目标函数：
　　　　max fx = 10*x1 + 9*x2
　　约束条件：
　　　　6*x1 + 5*x2 <= 60
　　　　10*x1 + 20*x2 <= 150
　　取值范围：
　　　　给定条件：x1, x2 >= 0，x1 <= 8，x1, x2 为整数
　　　　推导条件：由 x1,x2>=0 和 10*x1+20*x2<=150 可知：0<=x1<=15；0<=x2<=7.5
　　　　因此，0 <= x1<=8，0 <= x2<=7

说明：本题中要求饮料车辆为整百箱，即决策变量 x1,x2 为整数，因此是整数规划问题。PuLP提供了整数规划的

（2）Python 编程

    ProbLP5 = pulp.LpProblem("ProbLP5", sense=pulp.LpMaximize)  # 定义问题 1，求最大值
    x1 = pulp.LpVariable("x1", lowBound=0, upBound=8, cat="Integer")  # 定义 x1，变量类型：整数
    x2 = pulp.LpVariable("x2", lowBound=0, upBound=7.5, cat="Integer")  # 定义 x2，变量类型：整数
    ProbLP5 += (10 * x1 + 9 * x2)  # 设置目标函数 f(x)
    ProbLP5 += (6 * x1 + 5 * x2 <= 60)  # 不等式约束
    ProbLP5 += (10 * x1 + 20 * x2 <= 150)  # 不等式约束
    ProbLP5.solve()
    print(ProbLP5.name)  # 输出求解状态
    print("Status:", pulp.LpStatus[ProbLP5.status])  # 输出求解状态
    for v in ProbLP5.variables():
        print(v.name, "=", v.varValue)  # 输出每个变量的最优值
    print("F5(x) =", pulp.value(ProbLP5.objective))  # 输出最优解的目标函数值

（3）运行结果

ProbLP5
x1=8.0
x2=2.0
F5(X) = 98.0

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