Python 求解线性规划问题（2）PuLP库

1、什么是线性规划

　　线性规划（Linear programming），在线性等式或不等式约束条件下求解线性目标函数的极值问题，常用于解决资源分配、生产调度和混合问题。例如：

max     fx = 2*x1 + 3*x2 - 5*x3
s.t.    x1 + 3*x2 + x3 <= 12
	2*x1 - 5*x2 + x3 >= 10
	x1 + x2 + x3 = 7
	x1, x2, x3 >=0

　　线性规划问题的建模和求解，通常按照以下步骤进行：

（1）问题定义，确定决策变量、目标函数和约束条件；
（2）模型构建，由问题描述建立数学方程，并转化为标准形式的数学模型；
（3）模型求解，用标准模型的优化算法对模型求解，得到优化结果；

2、PuLP 库求解线性规划

　　PuLP是一个开源的第三方工具包，可以求解线性规划、整数规划、混合整数规划问题。
　　下面以该题为例讲解 PuLP 求解线性规划问题的步骤：
（0）导入 PuLP库函数

    import pulp

（1）定义一个规划问题

    MyProbLP = pulp.LpProblem("LPProbDemo1", sense=pulp.LpMaximize)  # 定义问题名称

　　pulp.LpProblem 是定义问题的构造函数。
　　”LPProbDemo1″是用户定义的问题名（用于输出信息）。
　　参数 sense 用来指定求最小值/最大值问题，可选参数值：LpMinimize、LpMaximize 。

（2）定义决策变量

    x1 = pulp.LpVariable("x1", lowBound=0, upBound=7, cat="Continuous")  # 定义决策变量
    x2 = pulp.LpVariable("x2", lowBound=0, upBound=7, cat="Continuous")  # 定义决策变量
    x3 = pulp.LpVariable("x3", lowBound=0, upBound=7, cat="Continuous")  # 定义决策变量 

　　pulp.LpVariable 是定义决策变量的函数。
　　”x1″ 是用户定义的变量名。
　　参数 lowBound、upBound 用来设定决策变量的下界、上界；可以不定义下界/上界，默认的下界/上界是负无穷/正无穷。本例中 x1,x2,x3 的取值区间为 [0,7]。
　　参数 cat 用来设定变量类型，可选参数值：”Continuous” 表示连续变量（默认值）、” Integer ” 表示离散变量（用于整数规划问题）、” Binary ” 表示0/1变量（用于0/1规划问题）。

（3）添加目标函数

    MyProbLP += 2*x1 + 3*x2 - 5*x3  # 设置目标函数

　　添加目标函数使用 “问题名 += 目标函数式” 格式。
（4）添加约束条件

    MyProbLP += (2*x1 - 5*x2 + x3 >= 10)  # 不等式约束
    MyProbLP += (x1 + 3*x2 + x3 <= 12)  # 不等式约束
    MyProbLP += (x1 + x2 + x3 == 7)  # 等式约束

　　添加约束条件使用 “问题名 += 约束条件表达式” 格式。
　　约束条件可以是等式约束或不等式约束，不等式约束可以是 小于等于 或 大于等于，分别使用关键字”>=”、”<=”和”==”。
（5）求解

    MyProbLP.solve()
    print("Status:", pulp.LpStatus[MyProbLP.status]) # 输出求解状态
    for v in MyProbLP.variables():
        print(v.name, "=", v.varValue)  # 输出每个变量的最优值
    print("F(x) = ", pulp.value(MyProbLP.objective))  #输出最优解的目标函数值    

　　solve() 是求解函数。PuLP默认采用 CBC 求解器来求解优化问题，也可以调用其它的优化器来求解，如：GLPK，COIN CLP/CBC，CPLEX，和GUROBI，但需要另外安装。　

3、Python程序和运行结果

完整的程序代码如下：

import pulp
MyProbLP = pulp.LpProblem("LPProbDemo1", sense=pulp.LpMaximize)  # 定义问题名称
x1 = pulp.LpVariable("x1", lowBound=0, upBound=7, cat="Continuous")  # 定义决策变量 
x2 = pulp.LpVariable("x2", lowBound=0, upBound=7, cat="Continuous")  # 定义决策变量 
x3 = pulp.LpVariable("x3", lowBound=0, upBound=7, cat="Continuous")  # 定义决策变量
MyProbLP += 2*x1 + 3*x2 - 5*x3  # 设置目标函数
MyProbLP += (2*x1 - 5*x2 + x3 >= 10)  # 不等式约束
MyProbLP += (x1 + 3*x2 + x3 <= 12)  # 不等式约束
MyProbLP += (x1 + x2 + x3 == 7)  # 等式约束
MyProbLP.solve()
print("Status:", pulp.LpStatus[MyProbLP.status]) # 输出求解状态
for v in MyProbLP.variables():
    print(v.name, "=", v.varValue)  # 输出每个变量的最优值
print("F(x) = ", pulp.value(MyProbLP.objective))  #输出最优解的目标函数值

程序运行结果如下：

Welcome to the CBC MILP Solver 
Version: 2.9.0 
Build Date: Feb 12 2015 

Status: Optimal
x1 = 6.4285714
x2 = 0.57142857
x3 = 0.0
F(x) =  14.57142851

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Crated：2021-04-28